20250202线段树区间更新.md

线段树相关的题目

不一定题目就要让你进行区间查询/区间操作
正常情况，线段树相关的题目一般不会真的就只是让你实现一个线段树

如果线段树相关的题目只考线段树，那么难度一定在如何实现线段树上，难度比较高，需要比较高的硬实力
题目不是直接考察线段树，而是需要你自己发现可以利用线段树进行题目需求的操作，主要考察的可能是思维性，题目如何进行转换，比较多，难度波动也很大

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首先可以发现 h 很大是没有意义的，因为最多只放 n 块公告
然后根据样例的模拟可以发现，公告不可能中间有空余
所以每一行我们其实只需要关注 剩余长度
所以可以简化一下题意
当前有一个数字 $len[i]$ 表示第 $i$ 行现在的剩余长度
对于当前这个公告 $a[j]$ 来说，找到一个最小的 $i$ 满足 $len[i] >= a[j]$

暴力： $O(n^2)$
优化：在 $n$ 个数字中尝试找一个合法的位置，二分

如果要二分的话
当前区间 $[l,r]$ ，中间值 $mid$
$check(mid)$ ：判断 $mid$ 之前能否放下 $a[i]$
那也就是判断 $1 \sim mid$ 是否存在 $>= a[i]$
那么也就是说我只需要知道前缀的最大值是否 $>= a[i]$

(1)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int maxv[800010];
int len[200010];
int h, w, n;
void build(int id, int l, int r){
	if (l == r){
		maxv[id] = w;
		return;	
	}	
	int mid = (l + r) / 2;
	build(id * 2, l, mid);
	build(id * 2 + 1, mid + 1, r);
	maxv[id] = max(maxv[id * 2], maxv[id * 2 + 1]);
}
int query(int id, int l, int r, int x, int y){
	if (x <= l && r <= y){
		return maxv[id];	
	}	
	int mid = (l + r) / 2;
	int ans = -1;
	if (x <= mid){
		ans = max(ans, query(id * 2, l, mid, x, y));	
	} 
	if (y > mid){
		ans = max(ans, query(id * 2 + 1, mid + 1, r, x, y));
	}
	return ans;
}
void update(int id, int l, int r, int x, int v){
	if (l == r){
		len[l] += v;
		maxv[id] += v;
		return;
	}	
	int mid = (l + r) / 2;
	if (x <= mid){
		update(id * 2, l, mid, x ,v);
	} else {
		update(id * 2 + 1, mid + 1, r, x, v);	
	}
	maxv[id] = max(maxv[id * 2], maxv[id * 2 + 1]);
}
bool check(int mid, int x){
	return query(1, 1, h, 1, mid) >= x;
}
int main(){
	scanf("%d%d%d", &h, &w, &n);
	h = min(h, n);
	for (int i = 1; i <= h; ++i){
		len[i] = w;	
	}
	build(1, 1, h);
	for (int i = 1; i <= n; ++i){
		int x;scanf("%d", &x);
		if (maxv[1] < x){
			printf("-1\n");
			continue;	
		}
		int l = 1, r = h;
		int ans = -1;
		while (l <= r){
			int mid = (l + r) / 2;
			if (check(mid, x)){
				r = mid - 1;
				if (len[mid] >= x) ans = mid;
			} else {
				l = mid + 1;
			}
		}
		printf("%d\n", ans);
		update(1, 1, h, ans, -x);
	}
	return 0;
}

(2)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int maxv[800010];
int len[200010];
int h, w, n;
void build(int id, int l, int r){
	if (l == r){
		maxv[id] = w;
		return;	
	}	
	int mid = (l + r) / 2;
	build(id * 2, l, mid);
	build(id * 2 + 1, mid + 1, r);
	maxv[id] = max(maxv[id * 2], maxv[id * 2 + 1]);
}
int query(int id, int l, int r, int x){
	if (l == r){
		return l;	
	}
	int mid = (l + r) / 2;
	if (maxv[id * 2] >= x){
		return query(id * 2, l, mid, x);	
	} else {
		return query(id * 2 + 1, mid + 1, r, x);	
	}
}
void update(int id, int l, int r, int x, int v){
	if (l == r){
		len[l] += v;
		maxv[id] += v;
		return;
	}	
	int mid = (l + r) / 2;
	if (x <= mid){
		update(id * 2, l, mid, x ,v);
	} else {
		update(id * 2 + 1, mid + 1, r, x, v);	
	}
	maxv[id] = max(maxv[id * 2], maxv[id * 2 + 1]);
}
int main(){
	scanf("%d%d%d", &h, &w, &n);
	h = min(h, n);
	for (int i = 1; i <= h; ++i){
		len[i] = w;	
	}
	build(1, 1, h);
	for (int i = 1; i <= n; ++i){
		int x;scanf("%d", &x);
		if (maxv[1] < x){
			printf("-1\n");
			continue;	
		}
		int ans = query(1, 1, h, x);
		printf("%d\n", ans);
		update(1, 1, h, ans, -x);
	}
	return 0;
}

(3)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int maxv[800010];
int len[200010];
int h, w, n;
void build(int id, int l, int r){
	if (l == r){
		maxv[id] = w;
		return;	
	}	
	int mid = (l + r) / 2;
	build(id * 2, l, mid);
	build(id * 2 + 1, mid + 1, r);
	maxv[id] = max(maxv[id * 2], maxv[id * 2 + 1]);
}
int query(int id, int l, int r, int x){
	if (l == r){
		return l;	
	}
	int mid = (l + r) / 2;
	if (maxv[id * 2] >= x){
		return query(id * 2, l, mid, x);	
	} 
	if (maxv[id * 2 + 1] >= x){
		return query(id * 2 + 1, mid + 1, r, x);	
	}
	return -1;
}
void update(int id, int l, int r, int x, int v){
	if (l == r){
		len[l] += v;
		maxv[id] += v;
		return;
	}	
	int mid = (l + r) / 2;
	if (x <= mid){
		update(id * 2, l, mid, x ,v);
	} else {
		update(id * 2 + 1, mid + 1, r, x, v);	
	}
	maxv[id] = max(maxv[id * 2], maxv[id * 2 + 1]);
}
int main(){
	scanf("%d%d%d", &h, &w, &n);
	h = min(h, n);
	for (int i = 1; i <= h; ++i){
		len[i] = w;	
	}
	build(1, 1, h);
	for (int i = 1; i <= n; ++i){
		int x;scanf("%d", &x);
		int ans = query(1, 1, h, x);
		printf("%d\n", ans);
		if (ans != -1){
			update(1, 1, h, ans, -x);
		}
	}
	return 0;
}

区间更新

123

暴力：每个点单独 $update->O(nlogn)$
优化思想：和并查集一样 $lazy$ ，什么时候查，什么时候更新，不查就不更新

对于某个区间 $[l,r]$ 的更新
我们可以先用尽可能大的区间覆盖掉整个区间的更新
但是对于某些大区间而言，下面的子区间暂时先不更新，等到后期需要用的时候再次更新（那么为了使得以后需要更新时知道该更新什么，我们需要把更新的信息保留在区间中 $lazy[id]$ ）
合并区间信息 $pushup$ ，下放区间信息 $pushdown$
对于当前区间，只要需要向下访问，则在访问前需要先 $pushdown$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100010;
long long sumv[4 * maxn];
long long lazy[4 * maxn];
long long a[maxn];
int n, m;
void pushdown(int id, int l, int r){
	if (lazy[id] != 0){
		int mid = (l + r) / 2;
		//向左区间下放，等于让左区间进行 +lazy[id] 的操作
		sumv[id * 2] += lazy[id] * (mid - l + 1);
		lazy[id * 2] += lazy[id];
		//向右区间下放，等于让右区间进行 +lazy[id] 的操作
		sumv[id * 2 + 1] += lazy[id] * (r - mid);
		lazy[id * 2 + 1] += lazy[id];
		//清空当前的 lazy[id]
		lazy[id] = 0;
	}
}
void pushup(int id){
	sumv[id] = sumv[id * 2] + sumv[id * 2 + 1];	
}
void build(int id, int l, int r){
	lazy[id] = 0;
	if (l == r){
		sumv[id] = a[l];
		return;	
	}	
	int mid = (l + r) / 2;
	build(id * 2, l, mid);
	build(id * 2 + 1, mid + 1, r);
	pushup(id);
}
long long query(int id, int l, int r, int x, int y){
	if (x <= l && r <= y){
		return sumv[id];	
	}	
	int mid = (l + r) / 2;
	//此时要向下查询了
	//所以先下放lazy
	pushdown(id, l, r);
	long long ans = 0;
	if (x <= mid){
		ans += query(id * 2, l, mid, x, y);	
	}
	if (y > mid){
		ans += query(id * 2 + 1, mid + 1, r, x, y);	
	}
	return ans;
}
void update_range(int id, int l, int r, int x, int y, int v){
	//跟 query 一样，用最大的区间更新
	//当前区间被包含时则停止向下更新
	if (x <= l && r <= y){
		//重点！ 思考清楚区间更新带来的影响
		sumv[id] += v * (r - l + 1);
		//lazy是记录还没有向下更新的操作
		lazy[id] += v;
		return;
	}
	int mid = (l + r) / 2;
	pushdown(id, l, r);
	if (x <= mid){
		update_range(id * 2, l, mid, x, y, v);	
	}
	if (y > mid){
		update_range(id * 2 + 1, mid + 1, r, x, y, v);	
	}
	pushup(id);
}
int main(){
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= n; ++i){
		scanf("%lld", &a[i]);	
	}
	build(1, 1, n);
	while (m--){
		long long op, x, y, z;
		scanf("%lld%lld%lld", &op, &x, &y);
		if (op == 1){
			scanf("%lld", &z);
			update_range(1, 1, n, x, y, z);	
		} else {
			printf("%lld\n", query(1, 1, n, x, y));	
		}
	}
	return 0;	
}